Задания на урок

Подготовка к олимпиаде для 10 и 11 классов

 

 

Петя играет в компьютерную игру «Куча камней». Сначала в куче 16 камней. Игроки по очереди  берут из кучи 1,2,3 или 4 камня. Выигрывает тот, кто заберёт последний камень. Петя играет впервые и поэтому каждый раз берет случайное число камней, при этом он не нарушает правила игры. Компьютер играет по следующему алгоритму: на каждом ходу он берет столько камней, чтобы оказаться в наиболее выгодном положении. Игру начинает всегда Петя. С какой вероятностью Петя выиграет?

  

***

 

Имеются два симметричных кубика. Можно ли написать на их гранях некоторые числа так, чтобы сумма очков при бросании принимала значения 1, 2, …, 36 с равными вероятностями?

 

***

 

 

В классе меньше 30 человек. Вероятность того ,что наугад выбранная девочка – отличница, равна    , а вероятность того, что наугад выбранный мальчик- отличник равна . Сколько в классе отличников?

 

***

 

Аня, Боря и Вася решили пойти на ёлку. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придет. Каждый из них может прийти в случайный момент времени  с 15:00 до 16:00. Вася самый терпеливый из всех: если он придёт и на остановке не будет ни Ани, ни Бори, то он будет ждать кого- нибудь из них 15 минут и, если никого не дождется, пойдет на ёлку один. Боря менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Аня самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако, если Боря и Вася встретятся, то они будут ждать Аню до 16:00. Какова вероятность того, что на ёлку они пойдут все вместе?

 

***

Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим Р_n вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна n. Докажите, что при n>=7 верно равенство:

.